7  Exercices

7.1 Résolution d’équations

7.1.1 Règles applicables pour la résolution d’équations linéaires

Avant de proposer les exercices, rappelons les règles fondamentales utilisées pour résoudre les équations linéaires1. Ces règles sont fondées sur les propriétés algébriques des opérations sur les nombres et sont suffisantes pour résoudre les équations linéaires, d’une manière directe. Elles peuvent aussi être utilisées pour résoudre toute équation, mais requièrent alors une stratégie dédiée, comme celle utilisée pour résoudre des équations du second degré.

  1. Distributivité : la distributivité permet de développer une expression de la forme \(a \ast (b + c)\) en \(a \ast b + a \ast c\), et inversement de factoriser \(a \ast b + a \ast c\) en \(a \ast (b + c)\). Les opérations numériques, soit l’addition et la multiplication, étant commutatives2, il est possible de commuter les termes des additions et des multiplications sans changer le résultat : autrement dit, l’égalité \[ a \ast b + a \ast c = a \ast (b + c) \] a trente et une3 formes équivalentes, comme \[ a\ast c + b \ast a = a \ast (b + c). \] Elles doivent être reconnues comme essentiellement la même égalité, du fait de la commutativité.

    Interprétation en termes d’aires : imaginez un rectangle de longueur \(a\) et de largeur \(b + c\). Son aire est \(a \ast (b + c)\). Si vous divisez ce rectangle en deux rectangles de largeurs \(b\) et \(c\), les aires sont \(a \ast b\) et \(a\ast c\). Ainsi, l’aire totale est \(a \ast b + a \ast c\), ce qui justifie la loi de distributivité \[ a \ast (b + c) = a \ast b + a \ast c. \]

  2. Simplifications fondamentales

    • Pour l’addition : si \(a + b = c\), alors \(a = c - b\).

      Justification : ajoutez \(-b\) aux deux membres : \((a + b) + (-b) = c + (-b)\). Par l’associativité de l’addition, \(a + (b + (-b)) = c - b\). Comme \(b + (-b) = 0\), on obtient \(a = c - b\).

    • Pour la multiplication : si \(a \ast b = c\) et \(b \neq 0\), alors \(a = \dfrac{c}{b}\).

      Justification : multipliez les deux membres par \(\dfrac{1}{b}\) : \((a \ast b) \ast \dfrac{1}{b} = c \ast \dfrac{1}{b}\). Par l’associativité de la multiplication, \(a \ast (b \ast \dfrac{1}{b}) = \dfrac{c}{b}\). Comme \(b \ast \dfrac{1}{b} = 1\), on obtient \(a = \dfrac{c}{b}\).

7.1.2 Exercices de résolution d’équations

Voici quatre exercices mettant en pratique ces règles. Chaque exercice mélange des nombres et des paramètres littéraux, et demande des simplifications. Les solutions détaillent les règles appliquées à chaque étape.

Exercice 7.1 (Résolution d’une équation linéaire algébriquement) Résoudre les quatre équations suivantes.

  1. \(3 \ast (x + 2) - 2 \ast x = 4 - (x - 1)\).
  2. \(a \ast (x - b) = c \ast (x + d)\), où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des paramètres avec \(a \neq c\).
  3. \(\dfrac{2\ast x - 1}{3} + \dfrac{x + 2}{2} = 4\).
  4. \(m \ast x + n = p \ast (x - q) + r\), où \(m\), \(n\), \(p\), \(q\), \(r\) sont des paramètres avec \(m \neq p\).
  1. Appliquer la distributivité pour développer les expressions : \[ 3 \ast x + 6 - 2 \ast x = 4 - x + 1. \]
  2. Simplifier chaque membre : \[ (3 \ast x - 2 \ast x) + 6 = (4 + 1) - x \quad \Rightarrow \quad x + 6 = 5 - x. \]
  3. Isoler les termes en \(x\) en ajoutant \(x\) aux deux membres (règle de simplification pour l’addition) : \[ x + 6 + x = 5 - x + x \quad \Rightarrow \quad 2 \ast x + 6 = 5. \]
  4. Isoler le terme en \(x\) en soustrayant 6 des deux membres : \[ 2 \ast x + 6 - 6 = 5 - 6 \quad \Rightarrow \quad 2 \ast x = -1. \]
  5. Diviser par \(2\) (règle de simplification pour la multiplication) : \[ x = \dfrac{-1}{2}. \]

Solution finale : \(x = -\dfrac{1}{2}\)

  1. Appliquer la distributivité pour développer : \[ a\ast x - a\ast b = c\ast x + c\ast d. \]
  2. Isoler les termes en \(x\) en soustrayant \(cx\) des deux membres : \[ a\ast x - a\ast b - c\ast x = c\ast x + c\ast d - c\ast x \quad \Rightarrow \quad (a - c)\ast x - a \ast b = c \ast d. \]
  3. Isoler le terme en \(x\) en ajoutant \(ab\) aux deux membres : \[ (a - c)\ast x - a \ast b + a \ast b = c \ast d + a \ast b \quad \Rightarrow \quad (a - c)\ast x = a\ast b + c\ast d. \]
  4. Diviser par \(a - c\) (puisque \(a \neq c\)) : \[ x = \dfrac{a\ast b + c\ast d}{a - c}. \]

Solution finale : \(x = \dfrac{a\ast b + c\ast d}{a - c}\)

  1. Mettre au même dénominateur (6) pour éliminer les fractions : \[ \dfrac{2\ast (2\ast x - 1) + 3\ast (x + 2)}{6} = 4 \]
  2. Appliquer la distributivité au numérateur : \[ \dfrac{4\ast x - 2 + 3\ast x + 6}{6} = 4 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{7\ast x + 4}{6} = 4. \]
  3. Multiplier les deux membres par 6 pour éliminer le dénominateur : \[ 7\ast x + 4 = 24. \]
  4. Isoler \(x\) en soustrayant 4 des deux membres : \[ 7\ast x + 4 - 4 = 24 - 4 \quad \Rightarrow \quad 7 \ast x = 20. \]
  5. Diviser par 7 : \[ x = \dfrac{20}{7}. \]

Solution finale : \(x = \dfrac{20}{7}\)

  1. Appliquer la distributivité au membre de droite : \[ m\ast x + n = p\ast x - p\ast q + r. \]
  2. Isoler les termes en \(x\) en soustrayant \(px\) des deux membres : \[ m\ast x + n - p\ast x = p\ast x - p\ast q + r - p\ast x \quad \Rightarrow \quad (m - p)\ast x + n = -p\ast q + r. \]
  3. Isoler le terme en \(x\) en soustrayant \(n\) des deux membres : \[ (m - p)\ast x + n - n = -p\ast q + r - n \quad \Rightarrow \quad (m - p)\ast x = r - n - p\ast q. \]
  4. Diviser par \(m - p\) (puisque \(m \neq p\)) : \[ x = \dfrac{r - n - p\ast q}{m - p}. \]

Solution finale : \(x = \dfrac{r - n - p\ast q}{m - p}\)

Conclusion : Ces exercices illustrent l’application systématique de la distributivité et des règles de simplification pour résoudre des équations linéaires. La maîtrise de ces règles est essentielle pour aborder des problèmes plus complexes.

  1. Une équation est linéaire si elle est de la forme réduite \(a \ast x + b = 0,\) où \(x\) est l’inconnue et \(a\) et \(b\) sont des scalaires. C’est une équation du premier degré.↩︎

  2. Elles sont dites commutatives car elles vérifient pour tous \(x\) et \(y\), \(x + y = y + x\) et \(x * y = y * x.\)↩︎

  3. Il y a \(5\) opérations, donc \(2^5\) commutations, soit \(32\).↩︎